万历十九年的深秋，郑王府东院的实验室里，朱载堉正面临着一个前所未有的数学难题。摊开在他面前的是《算学新说》的草稿，而他要解决的，是计算十二平均律最关键的一个数字——2√2的精确值。
“父亲，算筹已不敷使用。”朱载堉对前来探望的朱厚烷说道，手指着地上堆积如山的算筹，“若要计算到足够精度，需用算筹铺满整间屋子。”
老郑王凝视着儿子布满血丝的双眼，轻叹道：“我儿可还记得祖传的珠算？”
这句话如醍醐灌顶。朱载堉立即召集工匠，开始制作特制的开方算盘。他设计的算盘长六尺，宽二尺，共八十一档，每档七珠，足以进行高精度开方运算。
制作过程充满挑战。第一个月，连续三架算盘都因木料变形而报废。朱载堉发现问题的根源在于湿度变化，于是专门建造了恒温的算盘室，选用陈年紫檀木，在干燥的冬季进行制作。
算盘完成的那个清晨，实验室里响起震耳欲聋的噼啪声。朱载堉端坐算盘前，双手如飞地拨动算珠。计算2√2需要连续开平方、开立方，每一步都要保持极高精度。
“首次开方，得1....”他轻声念着数字，助手在旁记录。
“再开平方，得1....”
“第三次开方...”
汗水浸透了他的衣衫，手指磨出了血泡。有时为了验证一个数字，需要反复运算数十次。最紧张的时候，他连续三天三夜不曾离开算盘室，靠参汤维持精力。
经过数百个日夜的艰苦运算，终于在一个雪夜，他得到了那个划时代的数字：1.0。这个精确到小数点后25位的数字，解决了十二平均律最核心的数学难题。
与此同时，另一个创新正在实验室的另一端进行。朱载堉要制作世界上第一个基于十二平均律的弦准定音器。
“传统的律管虽准，却不便演奏。”他对工匠解释，“我们需要一种能直观展示新律优越性的乐器。”
设计过程充满创意。他首先改进了琴弦的材料，采用精铜丝与蚕丝绞合，使音色更加稳定。然后在指板上精确划分十二品，每一品都按照12√2的比例递减。
最关键的突破发生在一个月夜。朱载堉观察月光下蜘蛛网的振动，忽然领悟到弦长与张力之间的关系。他立即 redesign 了琴码结构，增加了可调节的张力装置。